如何手算平方根

有很多方法可以用手就算出平方根。有的別的方法只能得到估計值，這裏的方法則可以用簡單操作一位一位算出平方根的值。

手算平方根

（01）寫出要計算平方根的數字。從小數點開始，將數位分成一對一對的：79,520,789,182.47897變成"7 95 20 78 91 82. 47 89 70"。 我們的例子中，要計算780.14的平方根，先如圖畫兩條線，然後左邊寫"7 80. 14" ，右上方可以得到780.14的平方根。

（02）看看最左邊的一對數字，找出最大整數n，使得n的平方小等於這對數字。本例中這對數字就是7，2×2 ≤ 7 < 3×3，因此n = 2。 在右上角寫出2，這就是平方根的第一位。下面寫出2×2=4，下一步要用到。

（03）用最左一對的數字減去剛才的積。這裏用7減4，得到3。

（04）第二左的一對數字寫下來。讓右上方的數字乘以2，然後寫右下方各自裏，加上"_×_="。 比如，下一對數字是 "80"： "80" 寫在3旁邊，讓2乘以2，得到4： 把"4_×_=" 寫在下面。

（05）找出最大的數，使得其放在右下方橫線上算出來的積，小等於左邊的那個數。本例子中，如果用8，得到384，大於380，因此8太大了。不過7就可以了。7寫上去得到329，右上寫下7：7就是780.14平方根的第二位數字。

（06）左邊上下相減。本例中，380-329=51。

（07）重複步驟4。因為現在要處理小數部分，因此在右上寫出小數點。“14”這對數寫下來，27兩倍是54 ，因此在下面寫 "54_×_="。

（08）重複第5、6步。找出最大的數，使得放進橫線乘出來的積，小等於左邊的數字（5114），這裏得到9，在右上方寫出9。然後將5114減去乘得的積：得到173。

（09）想要繼續計算，就在173右邊放倆0，然後繼續4、5、6步驟。

以上步驟的原理解釋

（01）要理解以上方法的原理，假設你要計算平方根的數S是個正方形的面積。因此你要計算正方形的邊長L，L² = S.

（02）假設A是L（平方根）的首位，B則是第二位，C是第三位，以此類推。

（03）假設Sa是S的第一對位數，Sb是第二對，以此類推。

（04）和除法一樣，你一次只關注一個數位，這裏計算平方根，我們也就考慮兩位數（計算得到的是平方根數的每一個數）。同樣和除法一樣，小數點位置不重要，你可以隨後再加上去。

（05）看Sa這一對數（本例中Sa=7），要找出其平方根。第一位數A就是最大的、其平方不超過Sa的數字（即A² ≤ Sa < (A+1)²）。本例中， S1 = 7， 2² ≤ 7 < 3² ，因而 A = 2。

（06）注意，如果要讓88962 除以 7，步驟很類似：先看88962第一位 (8) ，需要一個7的倍數小等於 8。這表示有個 d 使得 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)。 d 等於 1

（07）計算下一位數B。考慮這裏的(10A+B)² = 100A² + 2×10A×B + B²。 (要記住，10A+B 就是個位數是B 、十位數是A 的數：A=1 ，B=2， 10A+B 就是（12）。(10A+B)²就是整個正方形的面積。100A²就是內部最大的正方形面積，B²是小正方形的面積，10A×B是每個長方形的面積。

（08）步驟3中，你要從Sa中減掉A² 。因為前面的係數是100，所以要將S中的一對數(Sb)寫下來： 這裏總面積需要是"Sa Sb" ，而你這時把100A² (大正方形的面積)減掉了。現在步驟4得到的N1（本例中為380）就是剩下部分的面積。N1就等於2×10A×B + B² (兩個矩形的面積加小正方形的面積).

（09）現在看看N1 = 2×10A×B + B²的值。也可以寫作 N1 = (2×10A + B) × B。 現在知道N1(=380) 和 A(=2)， 要找B。 B很大可能不是整數，因此要找出最大滿足(2×10A + B) × B ≤ N1條件的B ( B+1 就會超過範圍了，因此也有： N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1))

（10）在這裏可以將A乘以2，改變為十位數（換句話説就是乘以10），B放在個位數位置，然後將以上的和乘以B。得到(2×10A + B) × B 這個和步驟4中的 "N_×_=" ( N=2×A) 是一樣的。在步驟5中，你可以找出最大滿足(2×10A + B) × B ≤ N1的整數B。

（11）用總面積再減去 (2×10A + B) × B （步驟6左邊），得到一個面積：S-(10A+B)²，這個量我們還沒計算（下面的步驟會類似地用它算出下一位的數字C）

（12）要計算C，重複步驟：把Sc這對數字從S寫下來，然後看看最大滿足 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2的整數是多少 (就類似寫出"A B" 兩位數，然後後面跟着"_×_=" ，找出能寫在橫線上滿足條件的最大數字)。

特別提示

把小數點右移兩位（作為百位數），右移一位（作為十位數）。

例子中 1.73 可以看做“餘數 ：780.14 = 27.9² + 1.73

這個方法可以適用於任何位數的，不僅僅是十位數。

可以任意寫出計算過程。有的人喜歡把結果數字寫在要計算平方根的數字上。

還有另一種方法是用連分式來解的，可以在這裏找到：

√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))).<br/><br/>比如要計算780.14的平方根，平方最接近780.14 的數是 28， 因此z=780.14, x=28, y=-3.86。 代入，計只算x + y/(2x)的估計值 (最簡項)是 78207/2800 ，大約27.931(1); 計算下一項，得 4374188/156607 大約27.930986(5)。每項都大概比前一項加3 小數位的精確值。

要確定從小數點開始分割數位，比如79,520,789,182.47897變為&quot;79 52 07 89 182.478 97&quot; 就沒用了。