線性代數：如何求特徵值和特徵向量？

線性代數的學習中，掌握方法很重要。下面就為大家慢慢解析，如何求特徵值和特徵向量。

特徵值和特徵向量的相關定義

首先我們需要了解特徵值和特徵向量的定義，如下圖；

齊次性線性方程組和非其齊次線性方程組的區別，如下圖；

特徵子空間的定義，如下圖；

特徵多項式的定義，如下圖；

特徵值的基本性質，如下圖；

齊次線性方程組解法

齊次線性方程組的特徵就是等式右邊為0，以消元法簡化；

在初等數學方程組中都是有唯一解的，而在線性代數中，我們把這種情況稱為方程組“係數矩陣的秩為1”，記為r(A)=1，當矩陣的秩小於未知數的個數時，方程組有無數個解；當矩陣的秩等於未知數的個數時，方程組只有零解。
由於上訴方程組有兩個未知數，而r(A)=1<2，所以此組有無數個解。設 y=2 ,則 x=1；再設k為任意常數，則 x=k, y=2k為方程組的解，寫成矩陣的形式為：

非齊次線性方程組解法

非齊次線性方程組因為不等於0，看起來很複雜，其實方法還是先用消元法簡化步驟；

這一次進行初等行變換後，對於任意的非齊次線性方程組，當 r(A)=r(A|b)=未知數的個數時，非齊次線性方程組有唯一解；當 r(A)=r(A|b)<未知數的個數時，非齊次線性方程組有無數個解；當 r(A) ≠r(A|b) 時，非齊次線性方程組無解。
可見 r(A)=r(A|b)=3，所以[A|b]有唯一解，寫回方程組形式：

例題解析

求下列矩陣的特徵值和特徵向量；

求矩陣特徵值和特徵向量的一般解法；

試證明A的特徵值唯有1和2；

證明性問題還是需要解出特徵值。

關於特徵值與特徵向量的理解

對於特徵值與特徵向量，總結起來大概分為三種理解：