微分的幾何意義詳解

這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋，並配以一些例題，大多為紮實基礎的常規性題目和幫助加深理解的概念辨析題，難度適中，其中包含一些考研數學中的經典題目。本系列文章適合作為初學高等數學的課堂同步輔導，高數期末複習以及考研第一輪複習時的參考資料。既然是入門，就要捨去一些難度較大或不適合初學者的內容（例如用ε-δ語言證明極限，以及教材中多數定理的證明），有些較深入的問題（例如無窮大與無界的區別和聯繫，導函數的特性，拉格朗日中值定理的證明思路等）我們會以專題文章的形式給出，供有興趣的讀者選讀。

操作方法

（01）微分表達式與切線方程的聯繫。

（02）微分的幾何意義。

（03）從無窮小量的角度理解微分。

（04）微分在近似計算中的應用舉例。在近似計算時，我們可以用“線性增量”dy來近似代替“非線性增量” Δy。

（05）一個考研題目。下面我們來分析一道考查微分幾何意義的考研題（2006年數一第7小題），雖説本題用函數的凹凸性來解決更方便，但只要知道“導函數在某區間上>0則函數單增”這一“高中知識”，就可完成本題的解答（且更能體現導數的意義），題目如下：

（06）分析函數的大致圖像。解答本題的關鍵在於確定f(x)的大致圖像，我們按下述步驟來分析：

（07）題目的解答。