關於一動碰一動的一維碰撞碰後速度的推導過程

高中物理選修3—5，在研究碰撞問題時，教材只要求掌握一維的一動碰一靜的問題。但也有少數同學對兩球都運動的一維碰撞比較感興趣，自己去推導碰後速度又覺得很困難，為這個問題花費大量時間去研究好象也不行。推導過程其實只是一些數學遊戲，有一定的技巧性。現在就把推導過程展示給大家。

操作方法

（01）問題的提出：在一條直線上運動的兩個剛性小球，它們的質量和碰前速度如圖所示，試推導兩小碰撞後瞬間的速度。

（02）因為是剛性小球，碰撞過程兩小球組成的系統不僅動量守恆，而且機械能也守恆，列出兩個守恆方程。動量守恆方程1式為向量方程，但由於速度都是用字母表示，方向包含在字母V當中，所以可以不選取正方向。

（03）先將能量守恆方程2式化簡。約掉1/2並進行如圖所示的移項，然後提公因式，得到3式。操作運用的是小學初中的數學知識，想來同學們應該不會有問題。

（04）接下來對上一步得到的3式進行處理，運用平方差公式將上一步得到的等式進行展開，得到下圖中的4式。

（05）接着對動量守恆方程1式進行處理，先進行移項，再提公因式，再進行移項，得到圖中最下方的5式。

（06）將4式與5式進行等量代換，然後進行整理，得到關於碰前碰後各速度之間的關係式如下圖6式。

（07）將6式與1式聯立求解，先將第一個小球的碰後速度的表達式求出來。由得到的表達式可以知道，當V2=0時，就得到一動碰一靜問題中第一個小球的碰後速度的表達式。

（08）將得到的第一個小球碰後速度的表達式再代入1式，即可得到第二個小球碰後速度的表達式。當然也可以代入2式求解第二個小球的碰後速度的表達式，但因為2式涉及到平方，使求解過程變得複雜了，沒有必要舍簡就繁。

（09）最後，需要對兩小球的碰後速度表達式做些分析。分析兩小球質量的關係對碰後速度的影響，以加深對碰後速度表達式的理解。

特別提示

推導過程用到的數學知識雖然不是太難的知識，但推導過程還是比較複雜的，需要足夠的細心才不會出錯！