数学归纳法是求数列通项公式的常用方法,也是高考数列题目中求证不等式的一种方法。掌握数学归纳法对于求解部分高考题目相当有效。
(01)下面结合一道广东的高考题来说明如何使用数学归纳法。例1
(02)第一问,将n=1和n=2分别代入条件,联立公式就可以解出a1,a2,a3.
(03)第二问,先消去Sn,求出an和an+1的递推式。然后用数学归纳法,先假设n=k时,等式假设成立。再推导n=k+1时,等式也成立。最后总结,对于一切n等式都成立。
(04)下面讲一道江西的高考题例2
(05)分析题目,将n=1和n=2代入,求出不等式,利用数列都是整数可求出a1和a3
(06)第二问,根据前面求出的a1,a2,a3,则可以猜想an=n^2假设ak=k^2,则推导ak+1=(k+1)^2推导时,需要一个技巧,就是将不等式两边都表示成有(k+1)^2的式子,从而推导出ak+1=(k+1)^2
(07)例3
(08)分析题目,用数学归纳法。但是,在证明n=k+1不等式也成立时,这里要先借助f(x)的单调性,证明f(x)是一个递增函数。
对于有n的递推式或者不等式需要证明,数学归纳法是比较有效的方法