如何解二次方程

二次方程就是含有最高為二次的項的方程。有三種方法可以解這類方程：因式分解法、二次公式法、或者配方法。下面介紹這三種方法。

因式分解法

（01）把所有同類項合併，移到等式一邊。首先要把所有同類項合併，並讓x2保持為正數。要合併，只要加減x2項、x項和常數項，移到等號一邊。一邊沒有東西了以後，就寫0就可以了。以下是方法：2x2- 8x - 4 = 3x - x2=2x2+x2- 8x -3x - 4 = 03x2- 11x -4 = 0

（02）因式分解表達式。要因式分解，要利用x2項 (3)的因數、常數項(-4)的因數，相乘後加起來等於中間項數(-11)。按以下步驟做：因為 3x2只有一組可能的因數，即 3x 、 x ，寫入括號得(3x +/- ? )(x +/- ?) = 0然後分解4，找出一個組合以相乘得到 -11x 。可以用4和1組合，或者2和2組合。要記得其中一項是負數，因為常數項是-4試試(3x +1)(x -4) 乘後得到 - 3x2-12x +x -4。合併-12x 和 x，得到-11x ， 就是目標的中間項。這樣因式分解了一個二次方程。作為例子，我們試試另外一種行不通的解： (3x -2)(x +2) = 3x2+6x -2x -4 ，合併後得到3x2-4x -4。雖然-2 和 2 乘起來是-4 ，中間項還是不對，因為要得到-11x，不是 -4x

（03）讓所有括號項等於0，作為分開的等式。這就是説，讓3x +1 = 0 、 x - 4 = 0。這樣就可以讓你找出兩個x解，來確保整個等式等於0。因式分解了以後，只要讓括號分別等於0就好。

（04）分開解每個方程。在二次方程式中，有兩個x的解，只要獨立解出每個解就可以了。3x + 1 = 0 =3x = -1 =3x/3 = -1/3x = -1/3x - 4 = 0x = 4x = (-1/3, 4)

用二次公式

（01）合併所有同類項，移到等號一邊。像上面步驟一樣，移到一邊去，保持x2是正數，按次數大小排列，x2最前，x中間，常數項最後：4x2- 5x - 13 = x2-54x2- x2- 5x - 13 +5 = 03x2- 5x - 8 = 0

（02）寫下二次公式 ：{-b +/-√ (b2- 4ac)}/2a

（03）找出a、b、c的值。這裏a就是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項。3x2-5x - 8 = 0， a = 3， b = -5， c = -8。記下來。

（04）把已知的a、b、c代入公式，按以下步驟來做：{-b +/-√ (b2- 4ac)}/2{-(-5) +/-√ ((-5)2- 4(3)(-8))}/2(3) ={-(-5) +/-√ ((-5)2- (-96))}/2(3)

（05）算出解。替代公式中a、b、c以後，計算出各個解。如下：{-(-5) +/-√ ((-5)2- (-96))}/2(3) ={5 +/-√(25 + 96)}/6{5 +/-√(121)}/6

（06）簡化根式。如果根號內是完全平方數，就會得到整數，但如果不是，就將其簡化為最簡形式。如果是負數，則解是複數。這裏 √(121) = 11。 於是x = (5 +/- 11)/6。

（07）把正數解和負數解解出來。消除根號以後，就會發現有兩根，一根正一根負。即(5 +/- 11)/6，得到兩根：(5 + 11)/6(5 - 11)/6

（08）解出兩根：(5 + 11)/6 = 16/6(5-11)/6 = -6/6

（09）簡化解。只要上下同除以最大公因數，化簡分式就可以。把第一個解除以2，第二個除以6，得到解。16/6 = 8/3-6/6 = -1x = (-1, 8/3)

配方法

（01）把所有同類項合併到等號一邊。注意a或 x2係數是正數。按下列步驟做：2x2- 9 = 12x =2x2- 12x - 9 = 0等式中，a是2，b是-12 ，c是-9

（02）把c或常數移到等號另一邊。常數項就是不含有變量的項。移到等號右邊。2x2- 12x - 9 = 02x2- 12x = 9

（03）兩邊同時除以a，即x2係數。若x2沒有係數，或者説只有係數1，則跳過此步驟。 本例子中要把所有項除以2：2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =x2- 6x = 9/2

（04）再把b除以2，得出它的平方，然後兩邊同時加上這個平方數。這裏b是-6，如下處理：-6/2 = -3 =(-3)2 = 9 =x2- 6x + 9 = 9/2 + 9

（05）兩邊同時化簡。左邊得到(x-3)(x-3)或 (x-3)2，在右邊加上了數得到9/2 + 9 或 9/2 + 18/2，得到27/2

（06）找出兩邊的平方根。(x-3)2平方根就是(x-3)。27/2 的平方根是±√(27/2)。 由此 x - 3 = ±√(27/2)

（07）簡化根號，解出x。要簡化±√(27/2)，就要找出2或27中的完全平方數因數。9 是 27的一個完全平方數因數，9 x 3 = 27。 要把9提出來，在根號外寫出9的平方根3，根號內留下不能分解的3，還有分母的2，然後把等號左側的3移過來，解出兩個x解：x = 3 +(√6)/2x = 3 - (√6)/2)

特別提示

可以發現根號不能完全消掉。因此分子部分不能合併（因為不是同類數字）。因此把加號減號分開沒太多意義。我們要把任何常數項和根號外係數的因數提出來化簡。

若根號下不是完全平方數，則最後幾步有點不同。