巧用點到直線距離的幾何意義求函數最值

對於高中生而言，要用常規方法求解某些函數的最值，是非常困難的，甚至不知道如何下手，但是善於利用函數的幾何意義，把所給函數整理變形，便立即可以看出明確的幾何意義，從而利用變形後函數所呈現出的幾何意義，數形結合，進行求解函數的最值問題。首先我們先來看看點到直線的距離，已知一點P(x0,y0)以及直線方程Ax+By+C=0，求點到直線的距離公式，如下圖所示：

操作方法

（01）下面我們具體看一個例題，看看如何利用點到直線的距離的幾何意義，求解函數的最值問題的。例題：求下圖1所示函數的最大值、最小值，題目如下圖所示：

（02）接下來我們對原函數進行變形處理，具體變形步驟如下圖所示，首先需要對函數進行適當的變形，使變形後的函數滿足點到直線的距離公式，這個過程就是點到直線距離公式的配湊過程。

（03）然後我們對點(x,(4-(x-2)^2)^(1/2))作分析，把它變成參數方程，則有x0=t,y0=(4-(t-2)^2)^(1/2)。因為(x0-2)^2+y0^2=(t-2)^2+4-(t-2)^2=4，顯然x0,y0滿足以(2,0)點為圓心，半徑為2的圓，且是上半圓，因為y0>0的。我們畫出直線方程和滿足x0,y0的原方程圖像，具體圖像如下圖所示，非常簡單，直線方程時一條直線，還有一個以(2,0)點為圓心，半徑為2的圓的上半圓。

（04）畫出圖形後，數形結合，在圖上過圓心A作直線的垂線，交直線於C點，交圓於E點，在過圓最右端點B作直線的垂線，交直線於D,則很明顯圓上點到直線的最小距離是CE,最大距離是BD，再次利用點距離距離公式，計算出CE、BD的大小，即可求得原函數的最值。計算過程如下圖所示：

（05）上面我們求出了圓上點到直線的最大最小值，分別為BD、CE長度，將這兩個值代入原函數的變形表達式中，可得到函數的最大、最小值。具體如下所示：

特別提示

關鍵在於函數如何變形為點到直線距離公式的形式。